1 基本概念
位矢$\vec r$唯一地确定了质点再空间中的位置，含时，即$\vec r=\vec r(t)$。以此为基础，定义位移$\Delta\vec r=\vec(t+\Delta t)-\vec(t)$，平均速度$\bar{\vec v}=\dfrac{\Delta\vec r}{\Delta t}$，速度$\vec v=\dfrac{d\vec r}{dt}\equiv \dot{\vec r}$，加速度$\vec a=\dfrac{d\vec v}{dt}\equiv \ddot{\vec r}$。
路程$s$表示质点沿轨迹运动的实际长度，满足$v=\left|\dfrac{d\vec r}{dt}\right|=\dfrac{ds}{dt}$。以此为基础，定义曲率$k=\dfrac{d\theta}{ds}$，曲率半径$\rho=\dfrac{ds}{d\theta}$。
用不带标记的字母表述对应矢量的模，且矢量同向的单位矢$\dfrac{\vec a}{a}\equiv \vec e_a={\vec a}^\circ$（偷懒时直接写$\hat a$，我说的）。基矢的方向规定对应坐标增大的方向。
补充矢量微分运算法则：$d(\vec a\cdot\vec b)=d\vec a\cdot\vec b+\vec a\cdot d\vec b$、$d(\vec a\times \vec b)=d\vec a\times\vec b+\vec a\times d\vec b$。
2 自然坐标系
自然坐标系没有引入坐标变量。
2.1 平面曲线运动
基矢：切向$\vec\tau$，法向$\vec n$，及$\hat k\equiv\dfrac{\vec\omega}{\dot\theta}$。
速度、加速度分解：
$$ \begin{aligned} \vec v&=v\vec\tau\newline \vec a&=\dot v\vec\tau+v\dot\theta\vec n =\dot v\vec\tau+v\frac{d\theta}{ds}\frac{ds}{dt}\vec n =\dot v\vec\tau+\frac{v^2}{\rho}\vec n \end{aligned} $$
2.2 空间曲线运动
基矢：切向$\vec\tau$，主法向$\vec n$，副法向$\vec b=\vec\tau\times\vec n$。
速度、加速度分解（每一瞬间是为在密切面内运动）：
$$ \begin{aligned} \vec v&=v\vec\tau\newline \vec a&=\dot v\vec\tau+\frac{v^2}{\rho}\vec n \end{aligned} $$
3 平面正交曲线坐标系
3.1 平面直角坐标系
曲线坐标：$x$，$y$，基矢：$\hat i,\hat j$。
3.2 平面极坐标系
曲线坐标：模长$\rho$，极角$\theta$（$x=\rho\cos\theta,y=\rho\sin\theta$）。
基矢：径向$\hat r$,横向$\hat\theta$，求导：$\dot{\hat r}=\dot\theta\hat\theta, \dot{\hat\theta}=-\dot\theta\hat r$。
位矢、速度、加速度分解：
$$ \begin{aligned} \vec r&=r{\vec r}^\circ\newline \vec v&=\dot r{\vec r}^\circ+r\dot\theta{\vec\theta}^\circ\newline \vec a&=(\ddot r-r{\dot\theta}^2){\vec r}^\circ+(2\dot r\dot\theta+r\ddot\theta){\vec\theta}^\circ \end{aligned} $$
4 空间正交曲线坐标系
4.1 空间直角坐标系
曲线坐标：$x$，$y$，$z$。基矢：$\hat i$，$\hat j$，$\hat k$。
4.2 柱坐标系
曲线坐标：投影模长$\rho$，方向角$\varphi$，高度$z$（$x=\rho\cos\varphi,y=\rho\sin\varphi,z=z$）。
坐标变换： $$ \left\{ \begin{aligned} \hat\rho&=\cos\theta\hat i+\sin\theta\hat j\newline \hat\theta&=\hat k\times\hat\rho=\cos\theta\hat j-\sin\theta\hat i \end{aligned} \right. \Rightarrow \left(\begin{matrix} \hat\rho\newline \hat\varphi\newline \hat k \end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix} \cos\varphi& \sin\varphi& 0\newline -\sin\varphi& \cos\varphi&0\newline 0&0&1 \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} \hat{i}\newline \hat{j}\newline \hat{k} \end{matrix}\right) $$ 正交归一基矢求导：$\dot{\hat\rho}=\dot\varphi\hat\varphi, \dot{\hat\varphi}=-\dot\varphi\hat\rho,\dot{\hat k}=\vec 0$。
位矢、速度、加速度分解：
$$ \begin{aligned} \vec r&=\rho\hat\rho+z\hat k\newline \vec v&=\dot\rho\hat\rho+\rho\dot\varphi\hat\varphi+\dot z\hat k\newline \vec a&=(\ddot\rho-\rho\dot\varphi^2)\hat\rho+(2\dot\rho\dot\varphi+\rho\ddot\varphi)\hat\varphi+\ddot z\hat k \end{aligned} $$
4.3 球坐标系
曲线坐标：距离$r$，极角/余仰角$\theta$，方位角$\varphi$（$x=r\sin\theta\cos\varphi,y=r\sin\theta\sin\varphi,z=r\cos\theta$）。
坐标转换（分别投影可得，可参考附录）：
$$
\left(\begin{matrix}
\hat i\newline
\hat j\newline
\hat k
\end{matrix}\right)
=\left(\begin{matrix}
\sin\theta\cos\varphi& \cos\theta\cos\varphi& -\sin\varphi\newline
\sin\theta\sin\varphi& \cos\theta\sin\varphi& \cos\varphi\newline
\cos\theta& -\sin\theta& 0
\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}
\hat r\newline
\hat\theta\newline
\hat\varphi
\end{matrix}\right)
$$
由转移矩阵的正交性，即
$$
\left(\begin{matrix}
\hat r\newline
\hat\theta\newline
\hat\varphi
\end{matrix}\right)
=\left(\begin{matrix}
\sin\theta\cos\varphi& \sin\theta\sin\varphi& \cos\theta\newline
\cos\theta\cos\varphi& \cos\theta\sin\varphi& -\sin\theta\newline
-\sin\varphi& \cos\varphi& 0
\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}
\hat i\newline
\hat j\newline
\hat k
\end{matrix}\right)
$$
正交归一基矢求导：
$$
\begin{aligned}
\dot{\hat r}
&=
(\dot\theta\cos\theta\cos\varphi-\dot\varphi\sin\theta\sin\varphi)\hat i+(\dot\theta\cos\theta\sin\varphi+\dot\varphi\sin\theta\cos\varphi)\hat j-\dot\theta\sin\theta\hat k\newline
&=
\dot\theta(\cos\theta\sin\varphi\hat i+\cos\theta\cos\varphi\hat j-\sin\theta\hat k)+\dot\varphi\sin\theta(-\sin\varphi\hat i+\cos\varphi\hat j)\newline
&=\dot\theta\hat\theta+\dot\varphi\sin\theta\hat\varphi\newline
\dot{\hat\theta}
&=(-\dot\theta\sin\theta\cos\varphi-\dot\varphi\cos\theta\sin\varphi)\hat i+(-\dot\theta\sin\theta\sin\varphi+\dot\varphi\cos\theta\cos\varphi)\hat j-\dot\theta\cos\theta\hat k\newline
&=-\dot\theta(\sin\theta\cos\varphi\hat i+\sin\theta\sin\varphi\hat j+\cos\theta\hat k)+\dot\varphi\cos\theta(-\sin\varphi\hat i+\cos\varphi\hat j)\newline
&=-\dot\theta\hat r+\dot\varphi\cos\theta\hat\varphi\newline
\dot{\hat\varphi}
&=-\dot\varphi(\cos\varphi\hat i+\sin\varphi\hat j)\newline
&=-\dot\varphi(\sin\theta\hat r+\cos\theta\hat\theta)
\end{aligned}
$$
奈何，吾算不亦精乎？
位矢、速度、加速度分解： $$ \begin{aligned} \vec r=&r\hat r\newline \vec v=&\dot r\hat r+r\dot\theta\hat\theta+r\dot\varphi\sin\theta\hat\varphi\newline \vec a= &\ddot r\hat r+\dot r\dot\theta\hat\theta+\dot r\dot\varphi\sin\theta\hat\varphi+\newline &\dot r\dot\theta\hat\theta+r\ddot\theta\hat\theta+r\dot\theta(-\dot\theta\hat r+\dot\varphi\cos\theta\hat\varphi)+\newline &\dot r\dot\varphi\sin\theta\hat\varphi+r\ddot\varphi\sin\theta\hat\varphi+r\dot\varphi\dot\theta\cos\theta\hat\varphi+r\dot\varphi\sin\theta[-\dot\varphi(\sin\theta\hat r+\cos\theta\hat\theta)]\newline = &(\ddot r-r\dot\theta^2-r\dot\varphi^2\sin\theta^2)\hat r+\newline &(2\dot r\dot\theta+r\ddot\theta-r\dot\varphi^2\sin\theta\cos\theta)\hat\theta+\newline &(2\dot r\dot\varphi\sin\theta+2r\dot\theta\dot\varphi\cos\theta+r\ddot\varphi\sin\theta)\hat\varphi \end{aligned} $$