1 转动下的基矢导数

在认识平面极坐标系我们了解到，若引入$\vec\omega=\dot\theta\hat k$，方向依照右手法则，则 $$ \dot{\hat r}=\dot\theta\hat\theta=\vec\omega\times\hat r\newline \dot{\hat\theta}=-\dot\theta\hat r=\vec\omega\times\hat\theta $$ 事实上，若坐标系转动的方向向量为$\vec\omega$，则任一基矢对时间的导数为$\dot{\hat x}=\vec\omega\times\hat x$，此结论在后文将进一步说明。

角度的无穷小（角速度）改变是矢量，符合向量的平行四边形法则。

动系相对于静系的旋转角速度记为$\vec\omega=\omega_x\hat x+\omega_y\hat y+\omega_z\hat z$。

1.1 柱坐标的另一种推导

就柱坐标上的正交系而言，$\vec\omega=\vec{\dot\varphi}=\dot\varphi\hat z$，故对基矢求导 $$ \dot{\hat\rho}=\vec\omega\times\hat\rho=\dot\varphi\hat\varphi\newline \dot{\hat\varphi}=\vec\omega\times\hat\varphi=-\dot\varphi\hat\rho\newline \dot{\hat z}=\vec0 $$

1.2 球坐标的另一种推导

就球坐标上的正交系而言， $$ \vec\omega=\vec{\dot\theta}+\vec{\dot\varphi} =\dot\theta\hat\varphi+\dot\varphi\hat z\newline =\dot\theta\hat\varphi+\dot\varphi(\cos\theta\hat r-\sin\theta\hat\theta)\newline =\dot\theta\hat\varphi+\dot\varphi\cos\theta\hat r-\dot\varphi\sin\theta\hat\theta $$ 进而基矢导数 $$ \dot{\hat r}=\vec\omega\times\hat r=\dot\theta\hat\theta+\dot\varphi\sin\theta\hat\varphi\newline \dot{\hat\theta}=\vec\omega\times\hat\theta=-\dot\theta\hat r+\dot\varphi\cos\theta\hat\varphi\newline \dot{\hat\varphi}=\vec\omega\times\hat\varphi=-\dot\varphi\cos\theta\hat\theta-\dot\varphi\sin\theta\hat r $$

速度、加速度分解（再写一遍）

$$ \begin{aligned} \vec v =&\dot r\hat r+r\dot\theta\hat\theta+r\dot\varphi\sin\theta\hat\varphi\newline \vec a =&(\ddot r-r\dot\theta^2-r\dot\varphi^2\sin\theta^2)\hat r+\newline &(2\dot r\dot\theta+r\ddot\theta-r\dot\varphi^2\sin\theta\cos\theta)\hat\theta+\newline &(2\dot r\dot\varphi\sin\theta+2r\dot\theta\dot\varphi\cos\theta+r\ddot\varphi\sin\theta)\hat\varphi \end{aligned} $$

2 在运动坐标系中的运动

绝对位矢与相对位矢：$\vec r=\vec r_0+\vec r'$。

2.1 绝对速度

$$ \vec v=\dot{\vec r}=\dot{\vec r_0}+\dot{\vec r'}\newline =\vec v_0+\frac{d}{dt}(x_0\hat i_0+y_0\hat k_0+z_0\hat k_0)\newline =\vec v_0+(\dot x_0\hat i_0+\dot y_0\hat k_0+\dot z_0\hat k_0)+(x_0\dot{\hat i_0}+y_0\dot{\hat k_0}+z_0\dot{\hat k_0})\newline =\vec v_0+(\dot x_0\hat i_0+\dot y_0\hat k_0+\dot z_0\hat k_0)+(x_0\vec\omega\times\hat i_0+y_0\vec\omega\times\hat k_0+z_0\vec\omega\times\hat k_0)\newline =\vec v_0+(\dot x_0\hat i_0+\dot y_0\hat k_0+\dot z_0\hat k_0)+\vec\omega\times\vec r' $$ 可以发现，相对位矢求导不等于相对速度，具体的

• $\vec v_0=\dot{\vec r_0}$ 是平动牵连速度
• $\vec v'=\dfrac{\tilde d\vec v'}{dt}=(\dot x_0\hat i_0+\dot y_0\hat k_0+\dot z_0\hat k_0)$是相对速度
• $\vec v_\omega=\vec\omega\times\vec r'$是转动牵连速度。

结论 动坐标中的矢量（速度、加速度、力、冲量等）求导：$\dot{\vec G}=\dfrac{\tilde d\vec G}{dt}+\vec\omega\times\vec G$。

2.2 绝对加速度

$$ \vec a=\dot{\vec r}=\dot{\vec v_0}+\dot{\vec v'}+\frac{d(\vec\omega\times\vec r')}{dt}\newline =\ddot{\vec r_0}+(\frac{\tilde d}{dt}\vec v'+\vec\omega\times\vec v')+\dot{\vec\omega}\times\vec r'+\vec\omega\times(\frac{\tilde d}{dt}\vec r'+\vec\omega\times\vec r')\newline =\ddot{\vec r_0}+\frac{\tilde d}{dt}\vec v'+\dot{\vec\omega}\times\vec r'+\vec\omega\times(\vec\omega\times\vec r')+2\vec\omega\times\vec v'\newline =\ddot{\vec r_0}+\frac{\tilde d}{dt}\vec v'+\dot{\vec\omega}\times\vec r'+\vec\omega\times\vec v_\omega+2\vec\omega\times\vec v'\newline $$

可以发现，相对速度求导不等于相对加速度，具体的

• $\vec a_0=\ddot{\vec r_0}$是平动牵连加速度
• $\vec a'=\dfrac{\tilde d}{dt}\vec v'$是相对加速度
• $\vec a_\omega=\vec a_r+\vec a_n$，其中
  • $\vec a_r=\dot{\vec\omega}\times\vec r'$是切线转动牵连加速度，即角速度改变引起转动牵连速度大小的变化
  • $\vec a_n=\vec\omega\times(\vec\omega\times\vec v')=\vec\omega\times\vec v_\omega$是向轴转动牵连加速度，即动系转动引起的转动牵连速度方向的变化。
• $\vec a_c=2\vec\omega\times\vec v'$是科里奥利加速度，来源于质点相对转动动系的运动。