微分方程组

从标量到向量

$$ \begin{cases}\frac{dx}{dt}=f(t,x)\newline x|{t=0}=x_0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}\frac{d\vec x}{dt}=\vec f(t,\vec x)\newline \vec x|{t=0}=\vec x_0\end{cases} $$

即

$$ \begin{cases}\frac{dx_1}{dt}=f_1(t,x_1,x_2,\cdots,x_n)\newline \frac{dx_2}{dt}=f_2(t,x_1,x_2,\cdots,x_n)\newline \cdots\newline \frac{dx_n}{dt}=f_n(t,x_1,x_2,\cdots,x_n)\end{cases} $$

n阶微分方程特定一阶微分方程组的等价性

$$ \frac{d^nx}{dt^n}=f(t,x,\frac{dx}{dt},\cdots,\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}}) \Leftrightarrow \begin{cases}x_2=\frac{dx_1}{dt}\newline x_3=\frac{dx_2}{dt}\newline \cdots\newline x_n=\frac{dx_{n-1}}{dt}\newline \frac{dx_n}{dt}=f(t,x_1,x_2,\cdots,x_n-1,x_n)\end{cases} $$

线性微分方程组的一般概念

标准形式

$$ \frac{d\vec x}{dt}=\overline{\overline{A}}(t)\vec x+\vec f(t)\newline $$

其中$\overline{\overline{A}}={a(t){i,j}}{i,j=1}^n$是不依赖$\vec x$的$n\times n$的系数矩阵，$\vec x$是n维列向量。

当$f(t)\equiv 0$时，方程为齐次线性方程组，否则为非齐次线性方程组。

线性微分方程组解的一般理论

与高阶线性方程组解的理论类似，包括：线性无关性、朗斯基行列式、通解结构定理。