所谓常系数线性微分方程组即$\overline{\overline{A}}(t)=\overline{\overline{A}}$。

常系数齐次线性微分方程组

标准形式为$\frac{d\vec x}{dt}=\overline{\overline{A}}\vec x$ ，转化为求特征结构问题。

设存在解$\vec x(t)=\vec ve^{\lambda t}$，$\vec v$是待定常向量，则$\frac{d\vec x}{dt}=\lambda\vec ve^{\lambda t}$，即$\overline{\overline{A}}\vec v=\lambda\vec v$。

由此知$\lambda$为矩阵特征值，$\vec v$为对应特征向量，具体情形如下

1. 【重点】若$\overline{\overline{A}}$的所有特征根都为单根，记为$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$，对应的n个线性无关（由不同特征值对应特征向量的线性无关性保证） 解${\vec v_i}_ {i=1}^n$构成一个基本解组，则原一阶线性方程组通解为

$$ \vec x(t)=\sum_{i=1}^nc_i\vec v_ie^{\lambda_i t}=(\vec v_1e^{\lambda_1},\vec v_2e^{\lambda_2},\cdots,\vec v_ne^{\lambda_n})\vec c $$

比较

2. 如特征根为复数单根（必成对出现），互为共轭的特征根对应特征向量也互为共轭。

3. 如特征根特征根为重根，设$\lambda_0$是k重特征根，则对应基本解的形式为

$$ \vec x^{(i)}(t)=(\vec v_0^{(i)}+\frac{t}{1!}\vec v_1^{(i)}+\frac{t^2}{2!}\vec v_2^{(i)}+\cdots+\frac{t^{k-1}}{(k-1)!}\vec v_{k-1}^{(i)})e^{\lambda_0 t}\newline i=1,2,\cdots,k $$

其中的$\vec v_0^{(i)}$是$\lambda_0$对应的第$i$个广义特征向量（即方程$(\overline{\overline A}-\lambda_0\overline{\overline{I}})^k\vec v=\vec 0$的一组解，之间线性无关），且

$$ \vec v_j^{(i)}=(\overline{\overline{A}}-\lambda_0\overline{\overline I})\vec v_{j-1}^{(i)},j>0 $$

常系数非齐次线性微分方程组

类似地，先解出对应齐次方程组$\frac{d\vec x}{dt}=\overline{\overline{A}}\vec x$的通解$\vec X(t)$，构造基本解矩阵$\overline{\overline{X}}(t)$（$\vec X(t)=\overline{\overline{X}}(t)\vec c$）。

作常数变易，设非其次方程组的解$\vec x(t)=\overline{\overline{X}}(t)\vec c(t)$, 代入即

$$ \begin{aligned} \overline{\overline{X}}'(t)\vec c(t)+\overline{\overline{X}}(t)\vec c'(t)&=\overline{\overline{A}}\overline{\overline{X}}(t)\vec c(t)+\vec f(t)\newline &=\overline{\overline{X}}'(t)\vec c(t)+\vec f(t)\newline \overline{\overline{X}}(t)\vec c'(t)=\vec f(t) \end{aligned} $$

高斯消元解出$\vec c'(t)$后积分即可。

示例

求解如下方程

$$ \frac{d\vec x}{dt}=\begin{pmatrix}1&0&0\newline2&1&-2\newline3&2&1\end{pmatrix}\vec x+\begin{pmatrix}0\newline0\newline e^t\cos2t\end{pmatrix},\vec x(0)=\begin{pmatrix}0\newline0\newline1\end{pmatrix} $$

【提示】在对$\lambda_{2,3}=1\pm 2i$求解时，有$\vec v_2=\begin{pmatrix}0\newline1\newline-i\end{pmatrix}$，$\vec v_3=\begin{pmatrix}0\newline 1\newline i\end{pmatrix}$。

注意到$\vec x_2=\vec v_2e^{\lambda_2 t}=e^t\left[\begin{pmatrix}0\newline\cos2t\newline\sin2t\end{pmatrix}+i\begin{pmatrix}0\newline\sin2t\newline-\cos2t\end{pmatrix}\right]$，$\vec x_3=\overline{\vec v_2}e^{\overline{\lambda_2}t}=\overline{\vec x_2}$，分别取其实部虚部，则基本解矩阵如下，

$$ e^t\begin{pmatrix} 2&0&0\newline -3&\cos2t&\sin2t\newline 2&\sin2t&-\cos2t \end{pmatrix} $$

消元法解二元常系数一阶微分方程组

原理：消元升阶转化为二阶（齐次/非其次）常系数线性微分方程来解。