可降阶的二阶微分方程

$\frac{d^2y}{dx^2}=f(x)$型

解法，连续做两次积分。

$$ \frac{dy}{dx}=\int f(x)dx+C_1\newline y=\int\left[\int f(x)dx\right]dx+C_1x+C_2 $$

示例：求解$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1}{\cos^2x}, y|{x=\frac{\pi}{4}}=\frac{\ln 2}{2}, \frac{dy}{dx}|{x=\frac{\pi}{4}}=1$。

由$\frac{dy}{dx} =\tan x+C_1,y=-\ln|\cos x|+C_1x+C_2$，带入初值条件，则$C_1=C_2=0$。

注意，连续求积分过程中每求一次积分即计算出相应待定常数往往能简化运算。

变量替换法，令$\frac{dy}{dx}=p$，则$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{dp}{dx}$，方程化为$\frac{dp}{dx}=f(x,p)$，是一阶微分方程。

示例：求解$(1+x^2)\frac{d^2y}{dx^2}=2x\frac{dy}{dx}$。

令$p=\frac{dy}{dx}$，方程化为$(1+x^2)\frac{dp}{dx}=2xp$，系可分离变量的一阶微分方程，解为$p=C_1(x^2+1)$，

则$y=\int pdx=\frac{C_1}{3}x^3+C_1x+C_2$。

变量替换法，令$\frac{dy}{dx}=p$，则$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}$，方程化为$p\frac{dp}{dy}=f(y,p)$，系一阶微分方程。

示例：求解$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2-y\frac{d^2y}{dx^2}=0$。

令$p=\frac{dy}{dx}$，方程化为$p^2-yp\frac{dp}{dy}=0$，得$p=C_1y(C_1\in\mathbb R)$，

则$\frac{dy}{y}=C_1dx$，得$y=C_2e^{C_1x}(C_2\in\mathbb R)$。