二阶线性微分方程解的结构

概念

形如$\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=f(x)$的方程称为二阶线性微分方程，自由项$f(x)\equiv 0$时称之为二阶齐次线性微分方程，否则称为二阶非齐次线性微分方程。

符号：$L=\frac{d^2}{dx^2}+p(x)\frac{d}{dx}+q(x)$，作用在$y$上，即

$$ L[y]=\left(\frac{d^2}{dx^2}+p(x)\frac{d}{dx}+q(x)\right)[y]=\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y $$

性质：对任意函数$y_1=y_1(x),y_2=y_2(x)$及常数$C_1,C_2$，等式$L[C_1y_1+C_2y_2]=C_1L[y_1]+C_2L[y_2]$恒成立。

设$y_1=y_1(x),y_2=y_2(x)$是区间$I$上的函数，若存在不全为零的数$k1,k_2$使得$k_1y_1+k_2y_2=0$，则称函数在区间$I$上线性相关，反之无关。

其他描述：若$\frac{y_1(x)}{y_2(x)}=\alpha(\text{constant})$，则$y_1,y_2$线性相关，反之无关。

定理1：设$y_1=y_1(x),y_2=y_2(x)$都是$L[y]=0$的解，则$y_1,y_2$的线性组合也是方程的解。

定理2：设$y_1=y_1(x),y_2=y_2(x)$都是$L[y]=0$的线性无关的两个解，则方程通解为$y=C_1y_1+C_2y_2$。

定理3：二阶非齐次线性微分方程通解的结构定理 设$\widetilde{y}=\widetilde{y}(x)$是$L[y]=f(x)$的一个特解，且$L[y]=0$的通解是$Y=C_1y_1+C_2y_2$，则$L[y]=f(x)$的通解为$y=Y+\widetilde{y}$。

定理4：设$y_1,y_2$分别是$L[y]=f_1(x),L[y]=f_2(x)$的解，则$y_2+y_2$是$L[y]=f_1(x)+f_2(x)$的解。

定理5：设$y_1+iy_2$是$L[y]=f_1(x)+if_2(x)$的解，则$y_1,y_2$分别是$L[y]=f_1(x),L[y]=f_2(x)$的解。